0816. Κωνικές Τομές

Η ιδέα να ανεβάσω μια εγγραφή για τις κωνικές τομές σχηματίστηκε όταν είδα τον “φίλο” μας της εγγραφής:

0809. Στο Λεωφορείο και το Metro

να κρατά στα χέρια του ένα μετρίου μεγέθους κίτρινο βιβλίο με τίτλο "dtv Atlas zur Mathematik - Band 2" ανοιγμένο σε μια σελίδα που έδειχνε, ακριβώς, μια κωνική τομή. Αναρωτήθηκα: “Τι γνωρίζω για τις κωνικές τομές”; Η απάντηση ήταν: “Τα βασικά”!

Άνοιξα τον τόμο της εγκυκλοπαίδειας   “Πάπυρος – Λαρούς – Μπριτάννικα" που περιείχε το λήμμα του τίτλου και εκεί διάβασα ότι έπρεπε να ανατρέξω στο λήμμα “Αναλυτική Γεωμετρία”. Ανέτρεξα! Τόμος υπ’ αριθμ. 17, σελίδα 49, στην έκδοση του 1996. Ικανός όγκος πληροφοριών και, από ένα σημείο και πέρα, το κείμενο για μαθηματικούς ή σφοδρά ενδιαφερόμενους. Ανέτρεξα, βεβαίως, και στο διαδίκτυο. Εκεί τα πράγματα ήταν ακόμα πιο δύσκολα. Όμως δαπανώντας  χρόνο κατάφερα να ξεχωρίσω κάποιες εγγραφές (θα δώσω τις διευθύνσεις στη συνέχεια), οι οποίες έδιναν μια επαρκή εικόνα για το θέμα που με απασχολούσε.

Μη με ρωτήσετε ποιον και γιατί, στους ταραγμένους και δύσκολους καιρούς μας, ενδιαφέρουν οι Κωνικές Τομές. Μπορεί ελάχιστους, μπορεί και κανέναν. Αν ανεβάζω αυτή την εγγραφή είναι γιατί βρίσκω το ζήτημα εξαιρετικά ελκυστικό και ας διακινδυνεύω την, έτσι και αλλιώς συνεχώς μειούμενη, επισκεψημότητα / αναγνωσιμότητα του παρόντος ημερολογίου.

Όχι! Δεν σκοπεύω να σας κουράσω. Τα βασικά και εγκυκλοπαιδικά θα γράψω και θα δώσω, όπως ήδη έγραψα, και κάποιους συνδέσμους για όσους ενδιαφέρονται, ή θα ενδιαφερθούν διαβάζοντας, για κάτι περισσότερο.

Ξεκινάμε!

Οι κωνικές τομές αποτελούν μια κατηγορία καμπυλών του επιπέδου που προκύπτουν από την τομή ενός επιπέδου με έναν “ορθό” κώνο ή / και με τον “κατά κορυφήν” του. Το σημείο θα μπορούσε να θεωρηθεί και αυτό κωνική τομή στην περίπτωση που το τέμνον επίπεδο διέρχεται από την κορυφή του κώνου.

Ο πρώτος που μελέτησε τις κωνικές τομές ήταν ο Μέναιχμος, μαθητής του Πλάτωνα και του Ευδόξου του Κνιδίου, τον 4^ο αιώνα π.Χ. Τις μελέτησε στην προσπάθεια του να επιλύσει το λεγόμενο Δήλιο Πρόβλημα, δηλαδή το πρόβλημα της κατασκευής, με κανόνα και διαβήτη, ενός κύβου που να έχει όγκο διπλάσιο από ένα δοθέντα κύβο. Περισσότερες πληροφορίες για το Δήλιο Πρόβλημα στην εξαιρετική Διπλωματική Εργασία της κα. Τσόγκα Χαρίκλειας (στη σελίδα 8) που μπορείτε να βρείτε σε μορφή PDF εδώ.

Ο Ευκλείδης έγραψε, επίσης τον 4^ο π.Χ. αιώνα, τέσσερα βιβλία για τις Κωνικές τομές αλλά δυστυχώς χάθηκαν όλα. Ο Αρχιμήδης πάλι υπολόγισε το εμβαδόν της έλλειψης καθώς και ενός τομέα της παραβολής με μία μέθοδο ανάλογη με τις μεθόδους του Ολοκληρωτικού Λογισμού ο οποίος αναπτύχθηκε 2000 χρόνια αργότερα, τον 17^ο αιώνα μ.Χ.

Κατά τον Πάπυρο – Λαρούς – Μπριτάννικα:

“Το σπουδαιότερο έργο της Ελληνικής Γεωμετρίας και ίσως των Μαθηματικών των αρχαίων Ελλήνων, γενικά, ήταν τα οκτώ βιβλία για τις κωνικές τομές που έγραψε ο Απολλώνιος ο Περγαίος. Μόνον τα επτά πρώτα διασώθηκαν, που περιέχουν όμως μια πλήρη ανάπτυξη της στοιχειώδους θεωρίας των κωνικών τομών. Ο Απολλώνιος τις θεωρούσε ως καμπύλες του επιπέδου χωρίς να αναφέρεται στον προηγούμενο τρόπο κατασκευής τους. Οι όροι έλλειψη, παραβολή και υπερβολή εισήθχηκαν από τον Απολλώνιο”.

Τα ονόματα που δόθηκαν από τον Απολλώνιο στις Κωνικές Τομές προέκυψαν από τη σύγκριση δύο ευθυγράμμων τμημάτων που κατασκευάζονται με συγκεκριμένο τρόπο για κάθε Κωνική Τομή (η περιγραφή του οποίου υπερβαίνει την παρούσα εγγραφή) με την έλλειψη να αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου το πρώτο ευθύγραμμο τμήμα είναι μικρότερο (“ελλείπεται”) του άλλου, την παραβολή στην περίπτωση ισότητας των πιο πάνω δύο ευθυγράμμων τμημάτων (το ένα “παραβάλλεται” ή συγκρίνεται προς το άλλο) και την υπερβολή στην περίπτωση όπου το πρώτο ευθύγραμμο τμήμα είναι μεγαλύτερο (“υπερβάλλει”) από το δεύτερο.

Συνεχίζω, πάντα από την σελίδα 49 του 17^ου τόμου του (εν συντομία) Πάπυρου:

“Οι επόμενες γενιές των Ελλήνων μαθηματικών λίγα πρόσθεσαν στο έργο του «Μεγάλου Γεωμέτρη» όπως ονόμαζαν τον Απολλώνιο. Μια αξιοσημείωτη ανακάλυψη, όμως, που αξίζει να αναφερθεί έγινε από  τον Πάππο τον Αλεξανδρέα τον 4^ο π.Χ. αιώνα. Ο Πάππος απέδειξε ότι ο λόγος των αποστάσεων ενός τυχόντος σημείου μιας κωνικής τομής από ένα σημείο του επιπέδου (την εστία) και από μία ευθεία (τη διευθετούσα) είναι σταθερός. Ο σταθερός λόγος λέγεται εκκεντρότητα και συμβολίζεται με το γράμμα e. Η εκκεντρότητα είναι μικρότερη από την μονάδα για την έλλειψη, ίση με τη μονάδα για την παραβολή και μεγαλύτερη από τη μονάδα για την υπερβολή”.

Η σύνδεση των ονομάτων που έδωσε ο Απολλώνιος στις Κωνικές Τομές με την τιμή της εκκεντρότητας, συγκρινόμενη ως προς την μονάδα, για κάθε μία από αυτές (υπό το πρίσμα των “ελλείπεται”, “παραβάλλεται” και “υπερβάλλει”) είναι πραγματικά αξιοσημείωτη.

Αξιοσημείωτη είναι και μια ιδιότητα της παραβολής, η οποία αποτελεί τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου που απέχουν ίση απόσταση από μία ευθεία και ένα σημείο, κατά την οποία, αντιγράφω και πάλι από τον Πάπυρο (Σελίδα 50):

“. . . αν στη εστία E ενός παραβολικού κατόπτρου υπάρχει μια πηγή ακτινοβολίας τότε η ανακλώμενη ακτινοβολία είναι παράλληλη προς τον άξονα συμμετρίας. Αντίστροφα, όταν μια παράλληλη δέσμη ακτινοβολίας πέσει σε παραβολικό κάτοπτρο, τότε αυτή συγκλίνει στην εστία του κατόπτρου. Έτσι παραβολικά κάτοπτρα χρησιμοποιούνται σε προβολείς, θερμαντικά σώματα κ.λπ”.

Περισσότερα για τις Κωνικές Τομές εδώ, εδώ, εδώ, εδώ και εδώ.

Να είσαστε Όλες και Όλοι Καλά!

Ένα κλικ μακριά Χάρις Αλεξίου – Φίλιππος Πλιάτσικας και “Εσύ Με Ξέρεις Πιο Πολύ”

19/05/2012